Открыть главное меню

Алгебра над кольцом

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

ОпределенияПравить

Пусть   — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль   над кольцом  , в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом  )   определено произведение согласно равенству   называется алгеброй над   или  -алгеброй.

Согласно определению для всех   и   справедливы соотношения:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  , где   — единица кольца  

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для  ,   коммутатор определён равенством  .  -алгебра называется коммутативной, если  .

Для   ассоциатор определён равенством  .  -алгебра называется ассоциативной, если  .

Если существует элемент   такой, что   для всех  , то   называется единицей алгебры  , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия   требуют более слабое:  .

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение   (где   — целое число) обычно, то есть как сумму   копий  . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения   выбрать полилинейное отображение   и определить произведение согласно правилу:  , то полученная алгебраическая структура называется  -алгеброй.

Свободная алгебраПравить

Если алгебра   над коммутативным кольцом   является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом  . Если алгебра   имеет конечный базис, то алгебра   называется конечномерной.

Если   является полем, то, по определению,  -алгебра является векторным пространством над  , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают  . Если алгебра имеет единицу  , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают  . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

 .

А именно, если  ,  , то произведение можно представить в виде:

 .

Величины   называются структурными константами алгебры  .

Если алгебра коммутативна, то:

 .

Если алгебра ассоциативна, то:

 .

СвойстваПравить

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем   можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над  .

Отображение алгебрыПравить

Возможно рассматривать алгебру   над коммутативным кольцом   как модуль   над коммутативным кольцом  . Отображение   алгебры   над коммутативным кольцом   в алгебру   над кольцом   называется линейным, если:

 ,
 .

для любых  ,  ,  . Множество линейных отображений алгебры   в алгебру   обозначается символом  .

Линейное отображение   алгебры   в алгебру   называется гомоморфизмом, если   для любых  , а также выполнено условие: если алгебры   и   имеют единицу, то:

 .

Множество гомоморфизмов алгебры   в алгебру   обозначается символом  .

Очевидно, что  .

ПримерыПравить

ЛитератураПравить

  • Скорняков Л. А., Шестаков И. П.  Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.