Открыть главное меню

Александровская геометрия

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

ИсторияПравить

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгерa.[1] Эта работа была забыта вплоть до 80-ых годов.

Похожие определения были переоткрыты Александром Даниловичем Александровым.[2] [3] Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Буземаном.[4]

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

  • Двумерные пространства с кривизной ограниченной снизу;
  • Пространства произвольной размерности с кривизной ограниченной сверху.

Пространства произвольной размерности с кривизной ограниченной снизу начали изучать только в конце 90-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Дмитриевичем Бураго, Михаилом Леонидовичем Громовым и Григорием Яковлевичем Перельманом.[5]

Основные определенияПравить

Треугольник сравнения для тройки точек   метрического пространства   это треугольник   на евклидовой плоскости   с теми же длинами сторон; то есть

 

Угол при вершине   в треугольнике сравнения   называются углом сравнения тройки   и обозначаются  .

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства   с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Неположительная кривизнаПравить

Основная статья: Пространство Адамара

Первое неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек   рассмотрим пару треугольников сравнения   и   тогда для произвольной точки   выполняется неравенство

 

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет  -неравенству. В случае локального выполнения этого неравенства, говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Неотрицательная кривизнаПравить

Второе неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек   выполняется неравенство

 

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет  -неравенству или говорят, что пространство имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизнуПравить

Вместо Евклидовой плоскости можно взять пространство   — модельную плоскость кривизны  . То есть

  •   есть евклидова плоскость,
  •   при   есть сфера радиуса  ,
  •   при   есть плоскость Лобачевского кривизны  .

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT[k] и CBB[k] пространств и пространств кривизной   и   в смысле Александрова В случае  , треугольник сравнения тройки   считается определённым если выполнено следующее неравенство

 .

Основные теоремыПравить

ПримечанияПравить

  1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
  2. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
  3. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения (рус.) // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
  4. Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259–310.
  5. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами (рус.) // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

ЛитератураПравить