Открыть главное меню

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряженное (союзное) уравнение имеет нетривиальное решение[1]. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах[2].

Конечномерное пространствоПравить

Либо уравнение   имеет решение при любой правой части  , либо сопряжённое к нему уравнение   имеет нетривиальное решение

Доказательство

Способ 1

Пусть  . Возможны два случая: либо  , либо  . Условие   равносильно условию  , которое означает, что уравнение   имеет решение при любом  . При этом так как  , то   и уравнение   не имеет ненулевого решения. Условие   равносильно условию  , которое означает существование ненулевого вектора  , то есть ненулевого решения  . При этом   и уравнение   имеет решение не для любого  .

Способ 2

  1. Пусть система (1), то есть  , имеет решение при любом  . В этом случае  , так как иначе при некотором     оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как  , то в этих условиях  , то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
  2. Пусть теперь система   при некотором   несовместна. Следовательно   , значит и  , то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения:   — ранг матрицы  ,   — размерность пространства  ,   — образ оператора  ,   — дефект оператора  ,   — ядро оператора  ,   — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора  , действующего в одном пространстве  , означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом  , либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение[1].

Интегральные уравненияПравить

ФормулировкиПравить

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

 

с непрерывным ядром   и союзного к нему уравнения

 

 . Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в   при любом свободном члене  , то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в   при любом свободном члене  , причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене  , то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член   был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)[3].

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции  [4][5].

Идея доказательстваПравить

Вырожденное ядроПравить

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

 

можно переписать в виде

 

где

 

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на   и интегрирования по отрезку   уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных  :

 

где

 .

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случая[6].

Произвольное непрерывное ядроПравить

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

 

где   — вырожденное ядро (многочлен) и   — малое непрерывное ядро,  . Тогда уравнение (1) принимает вид

 

где   и   — интегральные операторы с ядрами   и   соответственно.

Введем неизвестную функцию   по формуле

 .

При   функция   однозначно выражается через   по формуле

 

где   — единичный оператор,   — интегральный оператор с ядром   — резольвентой ядра  . Тогда исходное уравнение принимает вид

 

где

 

— интегральный оператор с вырожденным ядром

 

аналитическим по   в круге  . Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

 

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге   уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случая[6].

СледствияПравить

 

повторяя в этой последовательности   столько раз, какова его кратность.

  • Если   — характеристическое число ядра  , то   — характеристическое число ядра  , причем они имеют одинаковую кратность.
  • Собственные функции   и   ядер   и  , отвечающие характеристическим числам   и   соответственно, причем  , ортогональны:  .

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

  • Если  , то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
  • Если  , то однородные уравнения
 

имеют одинаковое (конечное) число   линейно независимых решений — собственных функций   ядра   и собственных функций   ядра  .

 [6]

Банахово пространствоПравить

Даны уравнения

 
 

где   — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве  , а   — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве  . Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

 
 

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

 

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

 

(соответственно  )[7].

Применение к решению краевых задач для эллиптических уравненийПравить

Метод Неймана решения задачи Дирихле

 

состоит в том, что решение   ищется в виде

 

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь   — плоская область,   — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной,   — расстояние от точки   до точки   на контуре  ,   — внутренняя нормаль к   в точке  . Функция   должна удовлетворять интегральному уравнению

 

с непрерывным ядром

 

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение   при любом выборе непрерывной функции  , либо однородное уравнение

 

допускает ненулевое решение  . Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях  . Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи Неймана[8].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Конечномерное пространствоПравить

  • Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.

Интегральные уравненияПравить

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
  • Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 128 с.
  • Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.

Банахово пространствоПравить