Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица , эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

,

или поэлементно:

,

где через обозначено комплексное сопряжение числа .

Свойства

править

Матрица   эрмитова тогда и только тогда, когда матрица   антиэрмитова. Отсюда следует, что если   — антиэрмитова, то матрицы   эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица   может быть представлена в виде  , где   — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица   антиэрмитова тогда и только тогда, когда   для любых векторов   и   (форма   — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если   — антиэрмитова, то   — эрмитова.

Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.

Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой  , где:

  — эрмитова,
  — антиэрмитова.

Матрица   антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента   унитарна.

Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли   группы Ли  .

Для любого комплексного числа   такого, что  , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами  , не имеющих собственных чисел равных  , и антиэрмитовыми матрицами  , задаваемое формулами Кэли:

 ,
 ,

где   — единичная матрица.

В частности, при  :

 ,
 .

Ссылки

править