Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.
Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы абелевы. Например, для доказательства коммутативности достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.
Формулировка и доказательство теоремы
правитьПусть и — две магмы с единицами и , причём
- для всех .
Тогда бинарные операции и совпадают и, более того, являются коммутативными и ассоциативными.
Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: .
Далее, пусть . Тогда . Таким образом, и совпадают и являются коммутативными.
Наконец, проверим ассоциативность: .
Литература
править- John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
- John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
- Eckmann, B.; Hilton, P. J. (1962), "Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications", Mathematische Annalen, 145 (3): 227—255, doi:10.1007/bf01451367, MR 0136642.
- Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, vol. 38, pp. 112—119, 521–528.
- Brown, R.; Higgins, P. J.; Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, p. 703, arXiv:math/0407275, MR 2841564.
- Higgins, P. J. (2005), "Thin elements and commutative shells in cubical -categories", Theory and Application of Categories, 14: 60—74, MR 2122826.
- James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland
- Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups