Открыть главное меню

Среднее арифметико-геометрическое

(перенаправлено с «Арифметико-геометрическое среднее»)

Содержание

Арифметико-геометрическое среднееПравить

Арифметико-геометрическое среднее (АГС) величин a и b — предел последовательности  ,  , где:

 
 
 
 

имеют при   один и тот же предел:[1][2]

 .

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]

Модифицированное арифметико-геометрическое среднееПравить

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин x и y - (общий) предел (убывающей) последовательности   и (возрастающей) последовательности  , где  ,   и  .

 

 

 

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.[4]

МАГС выразимо посредством АГС, как повествуется здесь Modified Arithmetic-Geometric Mean. Такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса   с полуосями   и  :

 

где   — АГС чисел   и  , а   — МАГС чисел   и  . Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]

ПриложенияПравить

Можно воспользоваться этим фактом, чтобы вычислить число  . Например, по формуле Гаусса-Саламина:[5]

 

где  ,  ,  .

В то же время, если взять

 

то

 

где   есть полный эллиптический интеграл

 

Более лаконично,   выражается по формуле

 

где   - АГС 1 и  , а   - МАГС 1 и  .[3]

Пользуясь этим свойством АГС, а также преобразованиями, восходящими к Ландену,[6] Брент предложил[7] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ( ). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами — см., например, книгу Дж. и П. Борвайнов "Пи и АГС".[8]

СсылкиПравить

  1. B. C. Carlson (1971). «Algorithms involving arithmetic and geometric means». Amer. Math. Monthly 78: 496–505. DOI:10.2307/2317754. MR: 0283246.
  2. B. C. Carlson (1972). «An algorithm for computing logarithms and arctangents». Math.Comp. 26 (118): 543–549. DOI:10.2307/2005182. MR: 0307438.
  3. 1 2 3 Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
  4. Адлай, Семён. Равновесие нити в линейном параллельном поле сил. — LAP LAMBERT Academic Publishing, 2018-08-30. — ISBN 978-3-659-53542-0.
  5. E. Salamin[en] (1976). «Computation of   using arithmetic-geometric mean». Math. Comp. 30 (135): 565–570. DOI:10.2307/2005327. MR: 0404124.
  6. J. Landen (1775). «An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom». Philos. Trans. Royal Soc. London 65: 283–289.
  7. R.P. Brent (1976). «Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions». J. Assoc. Comput. Mach. 23 (2): 242–251. DOI:10.1145/321941.321944. MR: 0395314.
  8. J.M. Borwein[en] and P.B. Borwein[en]. Pi and the AGM. — Wiley, 1987. — ISBN MR: 0877728.

См. такжеПравить