Открыть главное меню

Среднее арифметико-геометрическое

(перенаправлено с «Арифметико-геометрическое среднее»)

Содержание

Арифметико-геометрическое среднееПравить

Арифметико-геометрическое среднее (АГС) величин a и b — предел последовательности  ,  , где:

 
 
 
 

имеют при   один и тот же предел:[1][2]

 .

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]

Модифицированное арифметико-геометрическое среднееПравить

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин x и y - (общий) предел (убывающей) последовательности   и (возрастающей) последовательности  , где  ,   и  .

 

 

 

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.[4]

МАГС выразимо посредством АГС, как повествуется здесь Modified Arithmetic-Geometric Mean. Такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса   с полуосями   и  :

 

где   — АГС чисел   и  , а   — МАГС чисел   и  . Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]

ПриложенияПравить

Можно воспользоваться этим фактом, чтобы вычислить число  . Например, по формуле Гаусса — Саламина:[5]

 

где  ,  ,  .

В то же время, если взять

 

то

 

где   есть полный эллиптический интеграл

 

Более лаконично,   выражается по формуле

 

где   — АГС 1 и  , а   — МАГС 1 и  .[3]

Пользуясь этим свойством АГС, а также преобразованиями, восходящими к Ландену,[6] Брент предложил[7] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ( ). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами — см., например, книгу Дж. и П. Борвайнов «Пи и АГС».[8]

СсылкиПравить

  1. B. C. Carlson. Algorithms involving arithmetic and geometric means (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1971. — Vol. 78. — P. 496—505. — DOI:10.2307/2317754.
  2. B. C. Carlson. An algorithm for computing logarithms and arctangents (англ.) // Math.Comp. : journal. — 1972. — Vol. 26, no. 118. — P. 543—549. — DOI:10.2307/2005182.
  3. 1 2 3 Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
  4. Адлай, Семён. Равновесие нити в линейном параллельном поле сил. — LAP LAMBERT Academic Publishing, 2018-08-30. — ISBN 978-3-659-53542-0.
  5. E. Salamin[en]. Computation of   using arithmetic-geometric mean (англ.) // Math. Comp. (англ.) : journal. — 1976. — Vol. 30, no. 135. — P. 565—570. — DOI:10.2307/2005327.
  6. J. Landen. An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom (англ.) // Philos. Trans. Royal Soc. London : journal. — 1775. — Vol. 65. — P. 283—289.
  7. R.P. Brent. Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions (англ.) // J. Assoc. Comput. Mach. : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — DOI:10.1145/321941.321944.
  8. J.M. Borwein[en] and P.B. Borwein[en]. Pi and the AGM. — Wiley, 1987. — ISBN MR: 0877728.

См. такжеПравить