Открыть главное меню

Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

СвойстваПравить

Общий член арифметической прогрессииПравить

Член арифметической прогрессии с номером   может быть найден по формуле

 
где   — первый член прогрессии,   — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессииПравить

Последовательность   есть арифметическая прогрессия   для любого её элемента выполняется условие  .

Сумма первых   членов арифметической прогрессииПравить

Сумма первых   членов арифметической прогрессии   может быть найдена по формулам

  , где   — первый член прогрессии,   — член с номером  ,   — количество суммируемых членов.
  — где   — первый член прогрессии,   — второй член прогрессии   — член с номером  .
  , где   — первый член прогрессии,   — разность прогрессии,   — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессииПравить

Арифметическая прогрессия   расходится при   и сходится при  . Причём

 

Связь между арифметической и геометрической прогрессиямиПравить

Пусть   — арифметическая прогрессия с разностью   и число  . Тогда последовательность вида   есть геометрическая прогрессия со знаменателем  .

Арифметические прогрессии высших порядковПравить

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если   — арифметическая прогрессия порядка  , то существует многочлен  , такой, что для всех   выполняется равенство  [1]

ПримерыПравить

  • Натуральный ряд   — это арифметическая прогрессия, в которой первый член  , а разность  .
  •   — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой   и  .
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу  , то это есть арифметическая прогрессия, в которой   и  . В частности,   есть арифметическая прогрессия с разностью  .
  • Сумма первых   натуральных чисел выражается формулой
 

Дополнительные формулыПравить

Нахождение разности   арифметической прогрессии,если известны члены этой прогрессии отличающиеся на разность их номеровПравить

Пусть нам будут известны значения двух членов из некой числовой последовательности,например:

  и   , где   и   - номера членов некой числовой последовательности.

Так как члены последовательности не являются соседними,то найдем насколько член  опережает  на некое количество номеров ,то есть найдем разность этих номеров:

  ,где   - разность номеров двух членов

Теперь найдем разность самих членов последовательности:

  ,где   - разность двух членов

Последний шаг - найти частное этих двух разностей,а именно:

  ,где   - разность арифметической прогрессии.

В конечном итоге мы получаем формулу:

 

Занимательная историяПравить

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

 

то есть к формуле суммы первых   чисел натурального ряда.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить