Открыть главное меню

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Содержание

СвойстваПравить

Общий член арифметической прогрессииПравить

Член арифметической прогрессии с номером   может быть найден по формуле

 
где   — первый член прогрессии,   — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессииПравить

Последовательность   есть арифметическая прогрессия   для любого её элемента выполняется условие  .

Сумма первых   членов арифметической прогрессииПравить

Сумма первых   членов арифметической прогрессии   может быть найдена по формулам

  , где   — первый член прогрессии,   — член с номером  ,   — количество суммируемых членов.
  — где   — первый член прогрессии,   — второй член прогрессии   — член с номером  .
  , где   — первый член прогрессии,   — разность прогрессии,   — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессииПравить

Арифметическая прогрессия   расходится при   и сходится при  . Причём

 

Связь между арифметической и геометрической прогрессиямиПравить

Пусть   — арифметическая прогрессия с разностью   и число  . Тогда последовательность вида   есть геометрическая прогрессия со знаменателем  .

Арифметические прогрессии высших порядковПравить

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если   — арифметическая прогрессия порядка  , то существует многочлен  , такой, что для всех   выполняется равенство  [1]

ПримерыПравить

  • Натуральный ряд   — это арифметическая прогрессия, в которой первый член  , а разность  .
  •   — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой   и  .
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу  , то это есть арифметическая прогрессия, в которой   и  . В частности,   есть арифметическая прогрессия с разностью  .
  • Сумма первых   натуральных чисел выражается формулой
 

Занимательная историяПравить

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

 

то есть к формуле суммы первых   чисел натурального ряда.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить