Открыть главное меню

Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая значения во множестве комплексных чисел .

Содержание

ОпределениеПравить

Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция

 

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций   натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства  . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию  , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа   (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

Операции и связанные понятияПравить

  • Суммой арифметической функции   называют функцию  , определённую как
 

Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на  , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

  • Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
 
  • Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле
 

При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

  • Поточечное умножение на логарифм,
 

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,

 

Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.

Известные арифметические функцииПравить

Число делителейПравить

Арифметическая функция   определяется как число положительных делителей натурального числа  :

 

Если   и   взаимно просты, то каждый делитель произведения   может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей   и  , и обратно, каждое такое произведение является делителем  . Отсюда следует, что функция   мультипликативна:

 

Если   — каноническое разложение натурального  , то в силу мультипликативности

 

Так как положительными делителями числа   являются   чисел  , то

 

Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как  [1]. Более точно — см. формулу Дирихле.

Сумма делителейПравить

Функция   определяется как сумма делителей натурального числа  :

 

Обобщая функции   и   для произвольного, вообще говоря комплексного  , можно определить   — сумму  -х степеней положительных делителей натурального числа  :

 

Используя нотацию Айверсона, можно записать

 

Функция   мультипликативна:

 

Если   — каноническое разложение натурального  , то

 

Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть  [1].

Функция ЭйлераПравить

Функция Эйлера  , или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих  , которые взаимно просты с  .

Пользуясь нотацией Айверсона, можно записать:

 

Функция Эйлера мультипликативна:

 

В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:

 

где   — различные простые делители  .

Функция МёбиусаПравить

Функцию Мёбиуса   можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:

 

То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа   равна нулю, если  , и равна  , если  .

Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:

 

Здесь   — различные простые числа,   — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса   равна  , если   не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна   в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей  ).

Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
  • Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.