Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая $\gamma =\gamma (t)$ на гладкой регулярной поверхности $F$ в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности $F$, т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

$\mathrm {I\!I} _{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0,$

где $\mathrm {I\!I}$ — вторая фундаментальная форма поверхности $F$.

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна $K<0$, называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K>0$, называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K=0$, но средняя кривизна $K\neq 0$, называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой $\gamma$ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к $F$ в той же точке.
• (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности $F$.
• Прямолинейный отрезок на поверхности $F$ всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над $2\pi$ (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании $\pi$ пространства асимптотические кривые поверхности $F$ переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности $\pi (F)$.

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами $x,y,z$ и метрикой $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ поверхность задана в виде графика функции $z=f(x,y)$. Тогда в координатах $x,y$ асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением $f_{yy}\,dy^{2}+2f_{xy}\,dxdy+f_{xx}\,dx^{2}=0.$ Введя обозначение $p=dy/dx$, его можно переписать в виде $f_{yy}p^{2}+2f_{xy}p+f_{xx}=0.$ Дискриминант $\Delta =f_{xy}^{2}-f_{xx}f_{yy}$ стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной $p$) совпадает с гессианом функции $f(x,y)$, взятым с обратным знаком, и уравнение $\Delta =0$ задает на плоскости $(x,y)$ кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов $f_{xx}$ или $f_{yy}$ отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых $H=K=0$, т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

• Все точки однополостного гиперболоида $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид $(x^{2}-1)p^{2}-2xyp+y^{2}-1=0$, где $p=dy/dx$. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой $y=ax+b$, где параметры $a$ и $b$ подчинены соотношению $b^{2}-a^{2}=1$. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам $\pm$ в формуле $b=\pm {\sqrt {a^{2}+1}}$) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.

• Асимтотические линии конуса $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.

• В случае поверхности, заданной уравнением $z=y^{2}+x^{2}y+ax^{4}$, имеем $\Delta =(1-6a)x^{2}-y$. Линия параболических точек ($y=(1-6a)x^{2}$) делит поверхность на эллиптическую ($y>(1-6a)x^{2}$) и гиперболическую ($y<(1-6a)x^{2}$) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат ($x=y=0$), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра $a$, см. статью.

• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:

  $\left\{{\begin{matrix}x(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\cos \psi \\y(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\sin \psi \\z(\phi ,\psi )=&r\sin \phi \\\end{matrix}}\right.\qquad \phi ,\psi \in [0,2\pi ),$

являются два параллели $z=\pm r$, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.

• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.