Базисная функция

Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве.

Используются в вариационном исчислении^{[B: 1]}, в анализе сигналов^{[B: 2]}, и других приложениях функционального анализа.

В ранних работах в качестве предпочтительного синонима использовался термин координатная функция.^[1] Базисная функция может называться также базисным вектором, если базис определен в линейном пространстве.^{[B: 3]}

Общие положения править

Наборы базисных функций обладают тем свойством, что все функции из данного функционального пространства (с учётом некоторых ограничений) могут быть представлены как их линейная комбинация.^{[B: 2]}^{[a 1]}

В ортогональных функциональных пространствах исходную функцию можно представить набором (вектором) коэффициентов её разложения. Такое свойство позволяет заменять трудоёмкие вычисления на более простые алгебраические операции непосредственно в функциональном пространстве.^{[B: 2]}^{[a 1]}

Примеры править

Любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора.

Если в качестве базисных выбраны гармонические функции, то разложение по ним есть преобразование Фурье.

В качестве ортогонального базиса часто оказывается удобным выбирать функции, широко используемые в математической физике, такие как классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), гипергеометрические и вырожденные гипергеометрические функции.^[2]

См. также править

Примечания править

↑ Эльсгольц, 1969, Гл. 10, § 3. Метод Ритца, с. 397—406.
↑ Дедус и др., 1999, с. 19—30.

Литература править

Книги править

↑ Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
↑ ¹ ² ³ Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. — М.: Машиностроение, 1999. — 356 с. — (Задачи анализа изображений и распознавания образов). — ISBN 5-217-02929-3.
↑ Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 4 изд., испр.. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — xii+354 с. — 200 экз. — ISBN 5–86134–103–6. Архивировано 28 ноября 2014 года.

Статьи править

↑ ¹ ² Pankratov A. N. On the implementation of algebraic operations on orthogonal function series (англ.) // Computational mathematics and mathematical physics : журнал. — 2004. — Vol. 44, no. 12. — P. 2017–2023.

[_bc420640c3ed53ca-3] Эльсгольц, 1969, Гл. 10, § 3. Метод Ритца, с. 397—406.

[_4ae7c72e5f017172-6] Дедус и др., 1999, с. 19—30.

[b-Elsgolts-1969ru-1] Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.

[b-Dedus-1999ru-2] ¹ ² ³ Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. — М.: Машиностроение, 1999. — 356 с. — (Задачи анализа изображений и распознавания образов). — ISBN 5-217-02929-3.

[b-Kutateladze-2001ru-4] Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 4 изд., испр.. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — xii+354 с. — 200 экз. — ISBN 5–86134–103–6. Архивировано 28 ноября 2014 года.

[a-Pankratov-2004-5] ¹ ² Pankratov A. N. On the implementation of algebraic operations on orthogonal function series (англ.) // Computational mathematics and mathematical physics : журнал. — 2004. — Vol. 44, no. 12. — P. 2017–2023.

[B: 1]

[B: 2]

[1]

[B: 3]

[a 1]

[2]