Банахова алгебра

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

$\forall x,y\in A,\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|$.

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом $\mathbf {1}$, что для всех $x\in A$ справедливо $x\mathbf {1} =\mathbf {1} x=x$). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру $A$ можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру $A_{e}$ в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

Примеры

• Поля комплексных чисел или действительных чисел — $\mathbb {C}$ и $\mathbb {R}$ относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
• $C(\Omega )$ — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — $C_{0}(\Omega )$ — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где $\Omega$ — локально компактное пространство.
• Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
• Если $G$ — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара $\mu$, то банахово пространство $L_{1}(G)$ интегрируемых относительно меры $\mu$ комплекснозначных функций на $G$ является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле

$(xy)(g)=\int _{G}x(h)y(h^{-1}g)\,\mathrm {d} \mu (h),\;g\in G$.

• $L_{1}(\mathbb {R} )$ — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: $\forall a\ ||a^{*}a||=||a||^{2}$

Свойства

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов $\mathrm {Inv} (A)$ алгебры $A$ является открытым множеством. При этом отображение $\mathrm {Inv}$, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, $\mathrm {Inv} (A)$ — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: $xy-yx\neq \mathbf {1}$  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что $\lambda \mathbf {1} ,\ \lambda \neq 0$ также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна $\mathbb {C}$.

Спектральная теория

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент $a\in A$ алгебры $A$ называется обратимым, если найдется такой элемент $a^{-1}\in A$, что $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf {1}$. Спектром $\sigma (a)$ элемента $a$ называется множество таких $\lambda \in \mathbb {C} ,$ что элемент $a-\lambda \mathbf {1}$ необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта $K\subset \mathbb {C}$ спектр элемента $w$ из алгебры $C(K)$, определяемого по формуле $w(z)=z$, совпадает с $K$, поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом $\mathrm {r} (x)$ элемента $x\in A$ называется величина

$\mathrm {r} (x)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}$.

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

$\mathrm {r} (x)=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.$

Резольвентным множеством элемента $a\in A$ называется множество $\rho (a)=\mathbb {C} \setminus \sigma (a)$. Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента $a\in A$ называется функция комплексной переменной $R_{a}\colon \rho (a)\to A$, определяемая формулой $R_{a}(\lambda )=(\lambda \mathbf {1} -a)^{-1}$. Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если $f$ — голоморфная в окрестности $D\subset \mathbb {C}$ спектра $\sigma (a)$ функция, можно определить $f(a)\in A$ по формуле

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(\lambda )R_{a}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$,

где $\gamma$ — спрямляемый жорданов контур, лежащий в $D$, содержащий спектр элемента $x$ и ориентированный положительно, а $R_{a}$ — резольвента элемента $a$. В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характеры

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и $\mathbb {C}$. Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если ${\mathfrak {m}}$ — максимальный идеал, то факторалгебра $A/{\mathfrak {m}}$ является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна $\mathbb {C}$. Поэтому каждому максимальному идеалу ${\mathfrak {m}}$ можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = ${\mathfrak {m}}$. Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма $A/{\mathfrak {m}}$ в $\mathbb {C}$. Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A^*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента $a$ алгебры A называется непрерывная функция ${\hat {a}}\colon \mathrm {Spec} \,A\to \mathbb {C}$, определяемая по формуле ${\hat {a}}(\chi )=\chi (a)$ для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

Литература

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.