Открыть главное меню

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется[1] термин «базис барицентрических координат») в -мерном аффинном пространстве   представляет собой систему из -й точки ,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в -мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   есть произвольная точка в  .  Каждая точка     может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

 

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа   (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

 
 
Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа    и называются барицентрическими координатами точки  .  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора  .

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

 

СвойстваПравить

  • Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
  • Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в   неотрицательны и их сумма равна единице.
  • Обращение в нуль барицентрической координаты   равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине  . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
  • В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой  . В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
  • Для точки  , лежащей внутри треугольника  , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников  .
  • Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если   — барицентрические координаты точки   относительно треугольника  , а   — длины его сторон, то
     
её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
  • Точка   является центром масс грузиков с массами  , расположенных в точках  .

ИсторияПравить

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.[2]

ПримечанияПравить

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 197.
  2. Боголюбов, 1983, с. 95—96.

ЛитератураПравить

См. такжеПравить