Барицентрическое подразделение

Барицентри́ческое подразделе́ние симплициального комплекса — определённый тип подразделения комплекса на более мелкие симплексы.

Четырёхкратное барицентрическое подразделение треугольника.

Определение

Барицентрическое подразделение симплициального комплекса $K$ есть симплициальный комплекс $K'$, получающийся заменой симплексов комплекса $K$ на более мелкие путём следующего процесса:

• каждый одномерный симплекс (отрезок) делится пополам;
• в предположении, что все симплексы размерности $\leqslant n-1$ уже подразделены, разбиение любого n-мерного симплекса $\Delta$ определяется посредством конусов над симплексами барицентрического подразделения границы $\Delta$ с вершиной в барицентре симплекса $\Delta$.

Свойства

• Вершины барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами исходного комплекса $K$.
• Симплексы комплекса барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными по включению конечными наборами симплексов из $K$.
  • В частности, если $K$ — n-мерный комплекс, то вершины его барицентрического подразбиения $K'$ допускают раскраску в $n+1$ цвет (по одному цвету на размерность соответствующего симплекса в $K$) такую, что вершины соединённые ребром имеют разные цвета.
• Диаметр каждого симплекса барицентрического подразделения некоторого n-мерного симплекса не превосходит произведение диаметра исходного симплекса на ${\tfrac {n}{n+1}}$.
  • В частности, повторяя операцию барицентрического подразделения, можно сколь угодно сильно уменьшить диаметр каждого симплекса в конечном комплексе.

Литература

• Барицентрическое подразделение // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб.
• Allen Hatcher. . Algebraic Topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — xii + 544 p. — ISBN 0-521-79540-0. — P. 119—121.