Бесконечномерное пространство

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам.

Определение

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа $N>0$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ векторов.

Базис

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов $\left\{e_{k}\right\}$ образует базис Шаудера пространства $E$, если каждый элемент $x\in E$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда $x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}$. Базис Шаудера существует не всегда.

Примеры

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций.
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ со сходящейся суммой квадратов $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$.
• Множество всех многочленов (над дан­ным по­лем).
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Свойства

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному.

См. также

• Конечномерное пространство

Литература

• Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.