Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Бета-распределение
Probability density function for the Beta distribution
Плотность вероятности
Cumulative distribution function for the Beta distribution
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Мода для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

ОпределениеПравить

Пусть распределение случайной величины   задаётся плотностью вероятности  , имеющей вид:

 ,

где

  •   произвольные фиксированные параметры, и
  •  бета-функция.

Тогда случайная величина   имеет бета-распределение. Пишут:  .

Форма графикаПравить

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров   и  .

  •   — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
  •   или   — график строго убывающий (синяя кривая)
    •   — график строго выпуклый;
    •   — график является прямой линией;
    •   — график строго вогнутый;
  •   график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
  •   или   — график строго возрастающий (зелёная кривая);
    •   — график строго выпуклый;
    •   — график является прямой линией;
    •   — график строго вогнутый;
  •   — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда  , плотность вероятности симметрична относительно   (красная и пурпурная кривые), то есть

 .

МоментыПравить

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины  , имеющей бета-распределение, имеют вид:

 ,
 .

Связь с другими распределениямиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить