Открыть главное меню

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля или ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,
,
,
,

здесь и

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Содержание

Альтернативное определениеПравить

В случае конечномерных пространств (например,  ) чаще используется другое определение.

Пусть   есть множество векторов вида   где  .

Билинейными формами называются функции   вида

 

где     а   — некоторые константы из поля  

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух групп по   переменных, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных из каждой группы.

Связанные определенияПравить

  • Билинейная форма   называется симметричной, если   для любых векторов  .
  • Билинейная форма   называется кососимметричной (антисимметричной), если   для любых векторов  .
  • Вектор   называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству   относительно  , если   для всех  . Совокупность векторов  , ортогональных подпространству   относительно данной билинейной формы  , называется ортогональным дополнением подпространства   относительно   и обозначается  .
  • Радикалом билинейной формы   называется ортогональное дополнение самого пространства   относительно  , то есть совокупность   векторов  , для которых   при всех  .

СвойстваПравить

  • Множество всех билинейных форм  , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе   в   любая билинейная форма   однозначно определяется матрицей
 

так что для любых векторов   и  

 

то есть

 
  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства   есть  .
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы   зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы  . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен  .
  • Для любого подпространства   ортогональное дополнение   является подпространством  .
  •  , где   — ранг билинейной формы  .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базисаПравить

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе   выражаются через координаты в новом   через матрицу    , или в матричной записи  , то билинейная форма   на любых векторах   и   запишется, как

 ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

 ,

или, в матричной записи:

 ,
 , где   — матрица прямого преобразования координат  .

Связь с тензорными произведениями и функтором HomПравить

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством  , где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными,  , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из   в двойственное пространство  . Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

 

 .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.