Открыть главное меню

Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре   со значениями в   называется отображение  , где  

Если  , то действие называется внутренним, если   или   — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

ЗамечаниеПравить

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции   результат её применения к двум элементам   и   записывается в виде  .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

Типы бинарных операцийПравить

Коммутативная операцияПравить

Бинарная операция   называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

 

Ассоциативная операцияПравить

Бинарная операция   называется ассоциативной, если

 

Для ассоциативной операции   результат вычисления   не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение   при   однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативная операция.

ПримерыПравить

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

ЗаписиПравить

Мультипликативная записьПравить

Если абстрактную бинарную операцию на   называют умноже́нием, то её результат для элементов   называют их произведе́нием и обозначают   или  . В этом случае нейтральный элемент  , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

 

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная записьПравить

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов   называют су́ммой и обозначают  . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

 

Обратная операцияПравить

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.