Открыть главное меню

Бинарная операция

ОпределениеПравить

Пусть   — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре   со значениями в   называется отображение  , где  

Если  , то действие называется внутренним, если   или   — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

ЗамечаниеПравить

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции   результат её применения к двум элементам   и   записывается в виде  .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

Типы бинарных операцийПравить

Коммутативная операцияПравить

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция   называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

 

Ассоциативная операцияПравить

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция   называется ассоциативной, если

 

Для ассоциативной операции   результат вычисления   не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение   при   однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативная операция.

ПримерыПравить

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

ЗаписиПравить

Мультипликативная записьПравить

Если абстрактную бинарную операцию на   называют умноже́нием, то её результат для элементов   называют их произведе́нием и обозначают   или  . В этом случае нейтральный элемент  , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

 

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная записьПравить

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов   называют су́ммой и обозначают  . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

 

Обратная операцияПравить

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны.

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.