Открыть главное меню

Бинарное отношение

Бина́рное (двухместное) отноше́ние — отношение между двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: [1]. Бинарное отношение на множестве  — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

Связанные определенияПравить

  • Множество всех первых компонент пар из   называется областью определения отношения   и обозначается как  .
 
  • Множество всех вторых компонент пар из   называется областью значения отношения   и обозначается как  .
 
  • Инверсия (обратное отношение)   — это множество   и обозначается, как  .
  • Композиция (суперпозиция) бинарных отношений   и   — это множество   и обозначается, как  .

Свойства отношенийПравить

Бинарное отношение   на некотором множестве   может обладать различными свойствами, например:

  • рефлексивность:  ,
  • антирефлексивность (иррефлексивность):  ,
  • корефлексивность:  ,
  • симметричность:  ,
  • антисимметричность:  ,
  • асимметричность:  ,
  • транзитивность:  ,
  • евклидовость:  ,
  • полнота (или связность[2]):  ,
  • связность (или слабая связность[2]):  ,
  • коннексность (англ. connex):  ,
  • трихотомия:   верно ровно одно из трех утверждений:  ,   или  .

Виды отношенийПравить

Виды бинарных отношенийПравить

  • Обратное отношение[уточнить] (отношение, обратное к  ) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов  , полученных перестановкой пар элементов   данного отношения  . Обозначается:  . Для данного отношения и обратного ему верно равенство:  .
  • Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.
  • Рефлексивное отношение — двухместное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого   этого множества элемент   находится в отношении   к самому себе, то есть для любого элемента   этого множества имеет место  . Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Антирефлексивное отношение (иррефлексивное отношение; так же, как антисимметричность не совпадает с несимметричностью, иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью) — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого элемента   этого множества неверно, что оно находится в отношении   к самому себе (неверно, что  ).
  • Транзитивное отношение — двухместное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых   из   и   следует   ( ). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Нетранзитивное отношение[уточнить] — двухместное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых   этого множества из   и   не следует   ( ). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
  • Симметричное отношение — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов   и   этого множества из того, что   находится к   в отношении  , следует, что и   находится в том же отношении к   —  . Примером симметричных отношений могут быть равенство, отношение эквивалентности, подобие, одновременность.
  • Антисимметричное отношение — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых   и   из   и   следует   (то есть   и   выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
  • Асимметричное отношение — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых   и   из   следует  . Пример: отношения «больше» (>) и «меньше» (<).
  • Отношение эквивалентности — бинарное отношение   между объектами   и  , являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, подобие, одновременность.
  • Отношение порядка — отношение, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности: отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует нестрогий порядок, а отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — строгий порядок.
  • Функция одного переменного — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что каждому значению   отношения   соответствует лишь единственное значение  . Свойство функциональности отношения   записывается в виде аксиомы:  .
  • Биекция (взаимно-однозначное отношение) — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению   соответствует единственное значение  , и каждому значению   соответствует единственное значение  .
  • Связанное отношение — бинарное отношение  , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов   и   из этого множества, одно из них находится в отношении   к другому (то есть выполнено одно из двух соотношений:   или  ). Пример: отношение «меньше» (<).

Операции над отношениямиПравить

Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств   и   суть подмножества множества  , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных  ,  :

 ,
 ,
 .

Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.

Например,  ,  , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрогого порядка, а их пересечение пусто.

Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом. Если  , то обратным отношением называется отношение  , определённое на паре  ,   и состоящее из тех пар  , для которых  . Например,  .

Пусть  ,  . Композицией (или произведением) отношений   и   называется отношение   такое, что:

 .

Например, для отношения строгого порядка на множестве натуральных числе его умножение на себя определено следующим образом:  .

Бинарные отношения   и   называются перестановочными, если  . Для любого бинарного отношения  , определённого на  , имеет место  , где символом   обозначено равенство, определённое на  . Однако равенство   не всегда справедливо.

Имеют место следующие тождества:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Аналоги последних двух тождеств для пересечения отношений не имеют места.

ПримечанияПравить

  1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры.. — М.: Физматлит, 1994. — С. 47-48. — 320 с. — ISBN 5-02-014644-7.
  2. 1 2 Дубов Ю. А., Травкин СИ., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. — М.: Наука, 1986. (с. 48)

ЛитератураПравить

  • Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. — М.: Учебники Высшей школы экономики, 2006. — 300 с.
  • Учебник: Математика без формул (Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов, 1995)

СсылкиПравить