Открыть главное меню

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Биномиальное распределение
Probability mass function for the binomial distribution Функция вероятности
Probability mass function for the binomial distribution Функция распределения
Обозначение
Параметры — число «испытаний»
— вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

ОпределениеПравить

Пусть   — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром  , то есть при каждом   величина   принимает значения   («успех») и   («неудача») с вероятностями   и   соответственно. Тогда случайная величина

 

имеет биномиальное распределение с параметрами   и  . Это записывается в виде:

 .

Случайную величину   обычно интерпретируют как число успехов в серии из   одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха   в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

 

где

  — биномиальный коэффициент.

Функция распределенияПравить

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

 ,

где   обозначает наибольшее целое, не превосходящее число  , или в виде неполной бета-функции:

 .

МоментыПравить

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

 ,

откуда

 ,
 ,

а дисперсия случайной величины.

 .

Свойства биномиального распределенияПравить

  • Пусть   и  . Тогда  .
  • Пусть   и  . Тогда  .

Связь с другими распределениямиПравить

  • Если  , то, получаем распределение Бернулли.
  • Если   большое, то в силу центральной предельной теоремы  , где   — нормальное распределение с математическим ожиданием   и дисперсией  .
  • Если   большое, а   — фиксированное число, то  , где   — распределение Пуассона с параметром  .
  • Если случайные величины   и   имеют биномиальные распределения   и   соответственно, то условное распределение случайной величины   при условии   – гипергеометрическое  .

См. такжеПравить