Биномиальное преобразование

(перенаправлено с «Биномиальные преобразования»)

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием ЭйлераПерейти к разделу «#Преобразование Эйлера», которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение

править

Биномиальное преобразование   последовательности   в последовательность   имеет вид

 

Введём  , где   — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы  

Оператор   обладает свойством инволюции:

  или в иных обозначениях  ,
где
  — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

 

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

 ;
 ;
 ;
 
 
где
  — оператор дифференцирования:  

Пример

править

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

0 1 10 63 324 1485
1 9 53 261 1161
8 44 208 900
36 164 692
128 528
400

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой  , которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой  

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла  :

 

Простые производящие функции

править

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть  

Тогда

  (простая производящая функция)

Преобразование Эйлера

править

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить   в формулу для простой производящей функции, то получим

 ,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при  

 

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции  , получая

 

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть   имеет цепную дробь  .

Тогда

 

Экспоненциальная производящая функция

править

Для экспоненциальной функции имеем

 

Тогда

 

Интегральное представление

править

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

Обобщение биномиальных преобразований

править

См. также

править

Литература

править

Ссылки

править