Биномиальное преобразование

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение

Биномиальное преобразование $T$ последовательности ${a_{n}}$ в последовательность ${s_{n}}$ имеет вид

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.$

Введём $(Ta)_{n}=s_{n}$, где $T$ — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы $T_{nk}.$

Оператор $T$ обладает свойством инволюции:

$TT=1$ или в иных обозначениях $\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}$,

где

$\delta$ — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.$

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

$s_{0}=a_{0}$;

$s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}$;

$s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}$;

$\ldots$

$s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0},$

где

$\triangle$ — оператор дифференцирования: $\Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).$

Пример

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой $3^{n-2}(2n^{2}+n)$, которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой $n^{2}2^{n-1}$

Сдвиг

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла $B_{i}$:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$

Простые производящие функции

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть $\left\{{\begin{matrix}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{matrix}}\right.$

Тогда

$g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).$

(простая производящая функция)

Преобразование Эйлера

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить $x={\frac {1}{2}}$ в формулу для простой производящей функции, то получим

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}$,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при $p\in \mathbb {N}$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.$

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции $_{2}F_{1}$, получая

$_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).$

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть $0<x<1$ имеет цепную дробь $x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$.

Тогда

$\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ];\\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matrix}}\right.$

Экспоненциальная производящая функция

Для экспоненциальной функции имеем

$\left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}};\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.\end{matrix}}\right.$

Тогда

${\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).$

Интегральное представление

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

См. также

• Преобразование Меллина

Литература

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Ссылки

• Binomial Transform