Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Для быстрого разложения бывает удобно воспользоваться треугольником Паскаля.

ДоказательствоПравить

Для умножения скобок нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Рассмотрим коэффициент при  . Вариантов выбрать   (из скобок) на 1-м шаге  , на 2-м соответственно   и так далее до   на  -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаны и все его порядковые перестановки, число которых  . Нормируя, получаем в точности  . Ниже приводится доказательство по индукции.

ОбобщенияПравить

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции   в ряд Тейлора:

 ,

где   может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

 

При этом ряд

 .

сходится при  .

В частности, при   и   получается тождество

 

Переходя к пределу при   и используя второй замечательный предел  , выводим тождество

 

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теоремаПравить

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

 

где   — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам  , сумма которых равна   (то есть по всем композициям числа   длины  ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения  , даже если  .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по  , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При  , выражая  , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы БеллаПравить

Пусть   и   ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

 

ИсторияПравить

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературеПравить

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить