Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов).
Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами, хотя в некоторых источниках термин «биполярные координаты» используется для барицентрических или биангулярных координат[1].
Канонические формулы для перевода координат (здесь подразумевается, что полюса имеют координаты
):
![{\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}\\y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bac832fcb5468ab7097ef738e19588116d96c7)
Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:
![{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta =\mathrm {arctg} \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e230b1978fa60a0521cc7b491cea9b9d0011ae89)
где
— расстояние между полюсами.
В общем случае, если полюса имеют произвольные координаты, формулы перевода преобразуются в:
.
Где
— расстояние между полюсами,
— расстояние до первого полюса,
— расстояние до второго полюса,
— координаты первого полюса,
— координаты второго полюса,
— угол наклона прямой, проходящей через координаты
, относительно оси абсцисс.
Получаемые по данным формулам четыре пары координат следует проверять на выполнение условия:
![{\displaystyle {\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}=r_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f721168d924da6e3be84e557c2389b1a2fa65ab0)
и
![{\displaystyle {\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=r_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af8af8abdcdf3c23756f9a6339f045f49d05d84)
Только две пары координат из четырёх будут удовлетворять этим условиям.