Бордизм

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых $n$-мерных многообразия $M$ и $M'$ бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное $(n+1)$-мерное многообразие $W$ (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий $M$ и $M'$, (или точнее многообразий $M_{0}$ и $M_{1}$ диффеоморфных, соответственно, $M$ и $M'$ посредством некоторых диффеоморфизмов $g_{0}\colon M\to M_{0}$ и $g_{1}\colon M'\to M_{1}$). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$).

Множество классов бордизмов $n$-мерных многообразий образует абелеву группу $\Omega _{n}^{O}$ относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: $M$ — ограничивающее многообразие, $M$ — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом $\Omega _{n}^{O}$ обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий $M$ диффеоморфно границе прямого произведения $M\times [0,\;1]$). Прямая сумма $\Omega _{*}^{O}$ групп $\Omega _{n}^{O}$ является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия $M$ и $M'$ ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка $W$ ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией $W$ на $M_{0}$ и $M_{1}$ (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах $g_{0}$ и $g_{1}$, соответственно, в исходную ориентацию $M$ и в ориентацию, противоположную исходной ориентации $M'$. Аналогично $\Omega _{n}^{O}$, и $\Omega _{*}^{O}$ вводятся группы ориентированных бордизмов $\Omega _{n}^{SO}$ и кольцо $\Omega _{*}^{SO}$.

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, $\mathrm {Spin}$-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и $h$-бордизмы (ранее называемые $J$-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

История

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер $\pi _{i}(S^{n})$, и таким путём смог найти $\pi _{n+1}(S^{n})$ и $\pi _{n+2}(S^{n})$. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим $\Omega _{n}^{SO}$ для $n\leqslant 4$. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также

• $h$-кобордизм