Букет пространств

Букет пространств  — пространство, полученное склейкой нескольких топологических пространств по одной точке.

Определение

Букет $X_{1}\vee X_{2}$ двух пространств $X_{1}$ и $X_{2}$ с отмеченными точками $x_{1}\in X_{1}$ и $x_{2}\in X_{2}$  можно определить как факторпространство несвязного объединения  $X_{1}$ и $X_{2}$

$X_{1}\vee X_{2}=(X_{1}\amalg X_{2})/{\sim },$

где $\sim$ обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_{1}\sim x_{2}$.

Подобным образом определяется букет произвольного числа пространств с отмеченными точками $\{(X_{\alpha },x_{\alpha })\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$

$\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }=\coprod _{\alpha }X_{\alpha }/{\sim },$

где $\sim$ обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_{\alpha }\sim x_{\beta }$ для всех $\alpha$ и $\beta$.

Замечания

• Букет зависит от выбора отмеченных точек.
• Букет пространств сам естественным образом является пространством с отмеченной точкой.
• Как бинарная операция, построение букета является ассоциативным и коммутативным (с точностью до изоморфизма).

Описание через категории

Букет можно понимать как копроизведение в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Кроме того, букет  можно рассматривать как кодекартов квадрат схемы X ← {•} → Y в категории топологических пространств, где {•} обозначает одноточечное пространство.

Свойства

• Если отмеченные точки допускают односвязные окрестности, то фундаментальная группа букета $X_{1}\vee X_{2}$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $X_{1}$ и $X_{2}$. Это утверждение немедленно следует из теоремы ван Кампена.

См. также

• Гавайская серьга — топологическое пространство, напоминающее букет счётного числа окружностей, но отличное от него.