Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

ОпределениеПравить

Пусть   — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в  . Валюация на   есть функция   такая, что равенство

 

выполняется для любых   таких, что  ,

ЗамечанияПравить

  • Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
  • Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого   выполняется
     

ПримерыПравить

Средняя поперечная мера

 -ая средняя поредняя поперечная мера   тела   определяется как средняя  -мерная площадь проекций   на  -мерные плоскости.

В частности,

  •   — объём  ,
  •   — пропорциональна площади поверхности  .
  •  
Валюация Дирака

Валюация Дирака   точки   определяется как

 

СвойстваПравить

  • Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
  • Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и  , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.[1]

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.