Вариация Харди

Для термина «Харди» см. также другие значения.

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение

Пусть имеется функция $f(x)=f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\;n=2,\;3,\;\ldots$, заданная на $n$-мерном параллелепипеде

$D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}].$

Зададимся произвольным разбиением $\pi$ параллелепипеда гиперплоскостями

$x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s};\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,$

$x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s},\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}$

на $n$-мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс ${\tilde {H}}_{n}$ всех функций, для которых

${\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,$

где

$\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;$

$\Delta _{h_{k}}(f;\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-$

$-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad \;k=1,\;2,\;\ldots ,\;n.$

Пусть, теперь, $\alpha =(\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}),\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1$ — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам $1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n$, и ${\bar {\alpha }}$ — целочисленный вектор размерности $n-s$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел $1,\;2,\ldots ,\;n$, которые не содержатся среди чисел $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}$. Тогда каждую точку $x\in D_{n}$ можно записать в виде $x=(x^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$. Если координаты $x_{\alpha _{1}},\;x_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;x_{\alpha _{s}}$ точки $x\in D_{n}$ фиксированы на значениях ${\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{1}},\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}$, то будем писать $x=({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$.

Вариация Харди функции $f(x)$ на $D_{n}$:

$H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _{{\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{n-s}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})\right).$

Если $H(f,\;D_{n})<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде $D_{n}$, а класс всех таких функций обозначается $H(D_{n})$.

История

Первоначально класс $H(D_{n})$ при $n=2$ был введён Г. Харди (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции $f(x_{1},\;x_{2})$ класса $H(Q_{2})$ ($Q_{2}=[0,\;2\pi ]\times [0,\;2\pi ]$), имеющей период $2\pi$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке $(x_{1},\;x_{2})$ к числу

${\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},$

где

$f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1}\to +0\\\varepsilon _{2}\to +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{1}).$

Для того чтобы функция $f(x)$ входила в класс $H(D_{n})$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде $f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$, где $f_{1}$ и $f_{2}$ такие конечные на $D_{n}$ функции, что $\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$, при всех $x\in D_{n}$ и допустимых приращениях $h_{1},\;h_{2},\;\ldots ,\;h_{n}$. Класс $H(D_{n})$ содержится в классе $A(D_{n})$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на $D_{n}$.

Литература

• Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Фреше