Открыть главное меню

Векторный потенциал

В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если  — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле такое, что

Если является векторным потенциалом для поля , то из тождества

(дивергенция ротора равна нулю) следует

то есть должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

ТеоремаПравить

Пусть

 

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что   убывает достаточно быстро при  . Определим

 

Тогда   является векторным потенциалом для  , то есть

 

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность выбора потенциалаПравить

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если   является векторным потенциалом для  , также им является

 

где   — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.

Векторный потенциал в физикеПравить

Уравнения МаксвеллаПравить

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал   вводится таким образом, что

  (в системе СИ).

При этом уравнение   удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для   в

 

приводит к уравнению

 

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в   вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

 

Из уравнения   следует

 

Используя равенство  , уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

 
 

Физический смысл векторного потенциалаПравить

В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.

В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. такжеПравить