Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).

Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой: $P(t)={\frac {N_{0}-n(t)}{N_{0}}}=1-{\frac {n(t)}{N_{0}}}$ где $N_{0}$ — исходное число работоспособных объектов,
$n(t)$ — число отказавших объектов за время $t$.

---

Вероятность безотказной работы группы взаимосвязанных объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: $P(t)=P_{1}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot ...\cdot P_{n}(t)=\prod _{k=1}^{n}P_{k}(t)$ где n — число объектов в группе.

Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если $P_{1}(t)=P_{2}(t)=...=P_{n}(t)$, то тогда $P(t)=[P_{1}(t)]^{n}$.

Среднее время безотказной работы системы

Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) $T_{0}$ — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:

$T_{0}=M=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}t\cdot f(t)dt=-\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}tdP(t)$

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до $infty,$ так как время не может быть отрицательным; $f(t)$ — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента.

$P(T)$ — есть вероятность безотказной работы в интервале времени $0<t<T.$ В начальный момент вероятность $P(T)$ равна единице. В конце времени работы системы вероятность $P(T)$ равна нулю.

Вероятность $P(T)$ связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:

$f(t)=-{\frac {dP(t)}{dt}}.$

Проинтегрировав выражение для $T_{0}$ по частям, получим:

$T_{0}=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}P(t)dt.$

Вероятность безотказной работы в зависимости от наработки

Графически полученное выражение для $T_{0}$ представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы $P(T)$ от времени $t.$ В начальный момент вероятность <math>Р(T)</math> равна единице. В конце времени работы системы <math>P(T)</math> равна нулю.

Здесь $T\geq 0$ — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.

Типичные распределения времени безотказной работы

Основной источник:

• Экспоненциальное распределение: $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$, $\lambda >0$, $t\geqslant 0$.
• Гамма-распределение: $f(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{\alpha -1}e^{-\lambda t}}{\Gamma (\alpha )}}$, $\lambda ,\alpha >0$, $t\geqslant 0$.
• Распределение Вейбулла: $f(t)=\lambda \alpha t^{\alpha -1}e^{-\lambda t^{\alpha }}$, $\lambda ,\alpha >0$, $t\geqslant 0$.
• Модифицированное распределение экстремального значения: $f(t)={\frac {1}{\lambda }}\exp {\left[-{\frac {e^{t}-1}{\lambda }}+t\right]}$, $\lambda >0$, $t\geqslant 0$.
• Усечённое нормальное распределение: $f(t)={\frac {1}{a\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$, $\sigma >0$, $-\infty <\mu <\infty$, $0<t<\infty$.
• Логарифмически-нормальное распределение: $f(t)={\frac {1}{t\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(\lg {t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$, $\sigma >0$, $-\infty <\mu <\infty$, $t\geqslant 0$.

Литература

• Леликов О. П. Тема 2. Основные понятия и показатели надежности // Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин. Конспект лекций по курсу "Детали машин". — М.: Машиностроение, 2002. — С. 8-9. — 440 с. — 2000 экз. — ISBN 5-217-03077-1.

См. также

• Расчёт надёжности
• ГОСТ 27.002—89 (В викитеке)
• Вероятность безотказной работы по ГОСТ 27.002-89