Весовая функция

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции

Общие определения

Дискретная весовая функция $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений $A$, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция $w(a):=1$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция $f:A\to {\mathbb {R} }$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма $f$ на $A$ определяется как

$\sum _{a\in A}f(a)$;

в отличие от взвешенной суммы $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$, определяемой как

$\sum _{a\in A}f(a)w(a)$.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

$\sum _{a\in B}w(a).$

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

${\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)$

в виде взвешенного среднего арифметического

${\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.$

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда , если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия $J$ частные показатели качества $x_{i}$ нормируются (диапазон изменения $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ каждого из них приводится к отрезку $[0,1]$): $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$, а интегральный критерий рассчитывается как $J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов $w_{1},\ldots ,w_{n}$.

Статистика

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения $f$, измеренного как $f_{i}$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями $\sigma _{i}^{2}$, наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения $\sigma ^{2}=1/\sum w_{i}$. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями $w_{i}$.

Механика

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется $n$ объектов с весами $w_{1},\ldots ,w_{n}$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${\boldsymbol {x}}_{i}$.

Непрерывные весовые функции

В случае непрерывных величин вес — положительная мера $w(x)dx$ в некотором домене $\Omega$, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${\mathbb {R} }^{n}$ на отрезке $[a,b]$. Здесь $dx$ — мера Лебега, а $w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция $w(x)$ часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения

Если $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

$\int _{\Omega }f(x)\ dx$

может быть дополнен взвешенным интегралом

$\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx$

Взвешенный объём

Если E — подмножество $\Omega$, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

$\int _{E}w(x)\ dx$.

Взвешенное среднее

Если $\Omega$ имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

${\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx$

на взвешенное среднее

${\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}$

Скалярное произведение

Если $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ и $g:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx$

можно ввести взвешенное скалярное произведение

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx$

(См. также ортогональность)

См. также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Среднее арифметическое взвешенное
• Взвешенный граф