Открыть главное меню

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Содержание

Дискретные весовые функцииПравить

Общие определенияПравить

Дискретная весовая функция   — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений  , которое обычно конечно или счётно. Весовая функция   соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция   определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма   на   определяется как

 ;

в отличие от взвешенной суммы  , определяемой как

 .

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

 

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

 

в виде взвешенного среднего арифметического

 

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда [1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия   частные показатели качества   нормируются (диапазон изменения   каждого из них приводится к отрезку  ):  , а интегральный критерий рассчитывается как  , чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов  .

СтатистикаПравить

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения  , измеренного как   несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями  , наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами  : результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения  . В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями  .

МеханикаПравить

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется   объектов с весами   (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках   на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

 ,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат  .

Непрерывные весовые функцииПравить

В случае непрерывных величин вес — положительная мера   в некотором домене  , который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства   на отрезке  . Здесь  мера Лебега, а   — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция   часто употребляется в понятии плотности.

Общие определенияПравить

Если   — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

 

может быть дополнен взвешенным интегралом

 

Взвешенный объёмПравить

Если E — подмножество  , то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

 .

Взвешенное среднееПравить

Если   имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

 

на взвешенное среднее

 

Скалярное произведениеПравить

Если   и   — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

 

можно ввести взвешенное скалярное произведение

 

(См. также ортогональность)

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Ватутин Э.И. Оценка качества разбиений параллельных управляющих алгоритмов на последовательные подалгоритмы с использованием весовой функции. Материалы межрегиональной научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы» (Интеллект-2005). Тула. С. 29–30. (2005). Архивировано 20 апреля 2012 года.