Вложение Куратовского

Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.

ПостроениеПравить

Пусть   есть метрическое пространство и  . Обозначим через   функцию расстояния от   в  . Обозначим через   банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

 

определённое как

 

называется вложением Куратовского.

ЗамечанияПравить

  • В случае если   имеет конечный диаметр, отображение  ,
     
также называется вложением Куратовского.

ИсторияПравить

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году[1], однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1906 года[2], где он впервые ввёл понятие метрического пространства.

ПримененияПравить

  • Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.

ЛитератураПравить

  1. Kuratowski, C. Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables. Fund. Math. 25 (1935), 534—545.
  2. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.