Вложенные радикалы

В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},$

или более сложный пример

${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.$

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,$

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.$

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ рационально:

${\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.$

Например,

${\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).$

В частности, для комплексных чисел ($c=-1$):

${\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),$ где $\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

$x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}$

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

$x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x$;

$x^{2}-x-2=0$;

$x_{1}=2,x_{2}=-1$.

Очевидно, что $-1$ не может являться значением исходного радикала.

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня:

  ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$;

• Для корня степени $n$

  ${\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$

  где $x$ является решением уравнения $x^{n}-bx-a=0$.

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана:

  $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

Частные случаи

• Золотое сечение:

  $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

• Пластическое число:

  $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$

• Число Пи:

  ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)