Открыть главное меню

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается

Содержание

ОпределениеПравить

Внешняя алгебра   векторного пространства   над полем   — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком  , а порождающими элементами являются   где   — базис пространства   Определяющие соотношения имеют следующий вид:

  •  
  •  

При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.

Связанные определенияПравить

  • Операция   называется внешним произведением.
  • Подпространство   (для  ) в   порождённое элементами вида   называется  -ой внешней степенью пространства  

СвойстваПравить

 
  • Имеют место равенства:
  в частности
  при   а также
 
  • Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения:  , если  
  • Элементы пространства   называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над   с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
       
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
       
  • Квадрат произвольного вектора   нулевой:
 
Следует отметить, что для r-векторов при r > 1 это неверно.
  • Линейно независимые системы из   векторов   и   из   порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда  -векторы   и   пропорциональны.

СсылкиПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.

См. такжеПравить