Внешняя алгебра

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается . Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятияПравить

Внешней алгеброй   векторного пространства   над полем   называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры   по двустороннему идеалу  , порождённому элементами вида  :

 .

Если характеристика поля  , то идеал   в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида  .

Умножение в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

 

kвнешней степенью пространства   называют векторное пространство  , порождённое элементами вида

 

причём   и   = { 0 } при k > n.

Если   и { e1, …, en } — базис  , то базисом   является множество

 

Тогда

 

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если   и  , то

 

СвойстваПравить

  • Элементы пространства   называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над   с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
       
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
       
  • Внешний квадрат произвольного вектора   нулевой:
 
  • Для r-векторов при чётном r это неверно. Например
 
  • Линейно независимые системы из  -векторов   и   из   порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда  -векторы   и   пропорциональны.

СсылкиПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
  • Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

См. такжеПравить