Внутренний автоморфизм

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a−1xa.

Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.

Операция xa−1xa называется сопряжением (см. также «Класс сопряжённости») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.

Фактически, утверждение, что сопряжение x элементом a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

a−1xa = xax = xa.

Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными, служит мерилом коммутативности в группе.

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей G[1].

ОбозначенияПравить

Выражение a−1xa часто записывается в виде степени xa. Эта запись используется, поскольку выполняется правило (xa)b = xab.

СвойстваПравить

Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы G, то есть биективным отображением из G в G. Он является также гомоморфизмом, что означает (xy)a = xaya.

Внутренний и внешний автоморфизмы группПравить

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — (xa)b = xab) и набор всех внутренних автоморфизмов группы G сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы G) и обозначается Inn(G).

Inn(G) является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов Aut(G) группы G. Группа внешних автоморфизмов[en] Out(G) — это факторгруппа

Out(G) ≡ Aut(G)/Inn(G)

Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов G являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы Out(G), но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы Out(G).

Связывая элемент aG с внутренним автоморфизмом f(x) = xa в группе Inn(G) как выше, получаем изоморфизм между факторгруппами G/Z(G) (где Z(G) — центр группы G) и группой внутренних автоморфизмов:

G/Z(G) = Inn(G).

Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах, поскольку Z(G) — это в точности множество тех элементов группы G, которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных p-группПравить

Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа G конечна и является неабелевой p-группой, то G имеет автоморфизм порядка p в некоторой степени, не являющийся внутренним.

Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева p-группа G имеет автоморфизм порядка p. Вопрос имеет положительный ответ, если G удовлетворяет одному из условий:

  1. Группа G является нильпотентной класса 2
  2. G является регулярной p-группой[en]
  3. G/Z(G) является мощной p-группой[en]
  4. Централизатор CG группы G центра Z подгруппы Фраттини[en] Φ группы G, CG∘Z∘Φ(G) не равен Φ(G)

Типы группПравить

Группа внутренних автоморфизмов Inn(G) тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента) тогда и только тогда, когда группа G абелева.

Легко показать, что Inn(G) может быть циклической группой, только когда она тривиальна.

Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной. Это выполняется для всех симметрических групп с n элементами, когда n не равно 2 или 6. Если n = 6, симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при n = 2 симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.

Пусть группа G совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии - совершенная группа[en]). Если группа её внутренних автоморфизмов Inn(G) проста, то такая группа G называется квазипростой[en].

Случай кольцаПравить

Если задано кольцо R и единица u из R, отображение f(x) = u−1xu является автоморфизмом кольца R. Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца R. Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца R.

Случай алгебр ЛиПравить

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Adg, где Ad является сопряжённым отображением, а g — элемент группы Ли, алгебра которого равна 𝔊. Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

ПримечанияПравить

  1. Schupp, 1987, с. 226–228.

ЛитератураПравить

  • A characterization of inner automorphisms // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1987. — Т. 101, вып. 2. — С. 226–228. — doi:10.2307/2045986. — JSTOR 2045986.

Литература для дальнейшего чтенияПравить

  • A. Abdollahi. Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology // J. Algebra. — 2010. — Т. 323. — С. 779—789. — doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013.
  • A. Abdollahi. Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p // J. Algebra. — 2007. — Т. 312. — С. 876—879. — doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036.
  • M. Deaconescu, G. Silberberg. Noninner automorphisms of order p of finite p-groups // J. Algebra. — 2002. — Т. 250. — С. 283—287. — doi:10.1006/jabr.2001.9093.
  • W. Gaschütz. Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen // J. Algebra. — 1966. — Т. 4. — С. 1—2. — doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7.
  • H. Liebeck. Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2 // J. London Math. Soc.. — 1965. — Т. 40. — С. 268—275.
  • В. Н. Ремесленников. Внутренний автоморфизм // Мат. Энциклопедия. — Москва, 1977. — Т. 1. — С. 724.