Внутренность

(перенаправлено с «Внутренность множества»)

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство   где   — произвольное множество, а   — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество  .

Ниже рассматривается открытость подмножеств   как подмножеств всего   (например,   обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом   явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность  .

Тогда внутренность множества   можно определить несколькими эквивалентными способами:

  • Внутренность — объединение всех открытых подмножеств  :
     .
  • Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество  :
     .
 
Точка   — внутренняя, а точка   — не внутренняя (в данном случае — граничная)
  • Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка   называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество  , такое что  :
     .

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

СвойстваПравить

  • Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств  .
  • Внутренность   — открытое множество.
  • Множество   открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
     .
    • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
  • Операция внутренности идемпотентна:
     .
  • Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:
     .
  • В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть   — метрическое пространство с метрикой  , и   — его подмножество. Точка   является внутренней для   тогда и только тогда, когда существует  , такое что  . Иначе говоря,   входит в   вместе с шаром радиуса   с центром в  .

ПримерыПравить

  •  
  • Если   — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то  .
  • Если   — вещественная прямая со стандартной топологией, и  , то  
  • Если   — дискретное пространство, то для любого   имеем  .

ВариацииПравить

Относительная внутренностьПравить

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренностьПравить

Алгебраическая внутренностьПравить

ЛитератураПравить

  • Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. такжеПравить