Внутренняя метрика

Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

ОпределенияПравить

Пусть задано топологическое пространство   и выбран класс некоторых допустимых путей  , содержащийся во множестве всех непрерывных путей в  .

  • На пространстве   задан функционал длины, если на множестве   задана функция  , ставящая в соответствие каждому   значение   (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути  .
  • Метрика   на пространстве   называется внутренней, если для любых двух точек   расстояние между ними определяется формулой   где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки  .

Связанные определенияПравить

  • Пусть   — две произвольные точки метрического пространства   и   — произвольное положительное число. Точка   называется их  -серединой, если  
  • Метрическое пространство   называется геодезическим, если любые две точки   можно соединить кратчайшей.

СвойстваПравить

  • Если   — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек   и любого   существует их  -середина. В случае, когда метрическое пространство   полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек   и любого   существует их  -середина, то эта метрика внутренняя.
  • Полное метрическое пространство   с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек   и   найдётся кривая длины   соединяющая точки   и  . Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
  • Теорема Хопфа — Ринова: Если  локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки   можно соединить кратчайшей. Более того, пространство   является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества   являются компактными).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4