Возвратное уравнение

Возвратное уравнениеалгебраическое уравнение от одной переменной вида

для нечётной степени и

для чётной степени , где . Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1].

Альтернативный способ определенияПравить

Многочлен     нечётной степени   называется возвратным, если для некоторого   равенство   верно при любом  .
Многочлен     чётной степени   называется возвратным, если для некоторого   равенство   верно при любом  .

Частные случаиПравить

Понижение степени и нахождение корнейПравить

Любой возвратный многочлен   нечётной степени   имеет корень   и представляется в виде произведения линейного многочлена   и многочлена    , имеющего чётную степень   и являющегося возвратным.

Рассмотрим теперь возвратный многочлен   чётной степени  . По определению возвратного многочлена  , следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде  , где сумму   можно переписать в виде многочлена относительно   степени  .

Найдя все корни   полученного уравнения и решив все уравнения вида   относительно  , получаем корни изначального возвратного уравнения  .

Разрешимость в радикалахПравить

Как было показано выше, возвратные уравнения степеней   и   сводятся к решению уравений степени  , которые разрешимы в радикалах вплоть до   по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение  , позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме   для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени   относительно  , является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно   степени не более  , разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает  .

ПримечанияПравить

СсылкиПравить