Открыть главное меню

Многоугольник

(перенаправлено с «Вписанный многоугольник»)
Тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.

Варианты определенийПравить

 
Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Связанные определенияПравить

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольниковПравить

 
Многоугольник, вписанный в окружность
 
Многоугольник, описанный около окружности

СвойстваПравить

  • Сумма внутренних углов плоского  -угольника без самопересечений равна  .
  • Число диагоналей всякого  -угольника равно  .

ПлощадьПравить

  • Пусть   — последовательность координат соседних друг другу вершин  -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:
 , где  .

Квадрируемость фигурПравить

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура   называется квадрируемой, если для любого   существует пара многоугольников   и  , такие что   и  , где   обозначает площадь  .

Вариации и обобщенияПравить

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.