Вписанный четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Примеры вписанных четырёхугольников.

Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.

Специальные случаиПравить

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. Бицентричный четырёхугольник[en] — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также внешне описанным[en].

СвойстваПравить

  • Первый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке[1].
  • Второй критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник   является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть[2].
 
  • Другой вариант первого критерия вписанности четырёхугольника. Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала[3]. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.
  • Третий критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.
  • Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник   был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю[4]. Например,
 
  • Пятый критерий вписанности четырёхугольника. Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: [5]
 .
  • Шестой критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когда[6]
 

Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

  • Седьмой критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда [7]

 

 
ABCD - циклический четырехугольник, в котором E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AD и BC, G - точка пересечения продолжений сторон AB и CD.(см. рис.)   - окружность девяти точек треугольника EFG. Точка T пересечения средних линий ABCD принадлежит окружности  .

.

  • Восьмой критерий вписанности четырёхугольника. Пусть   выпуклый четырехугольник, в котором   - точка пересечения диагоналей,   - точка пересечения продолжений сторон   и  ,   - точка пересечения продолжений сторон   и  . И пусть   - окружность девяти точек треугольника  .   является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности  .[8][9][10] (см. рис.)
 
ABCD является циклическим четырехугольником. E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD.   - окружность, диаметр которой является отрезком EF. P и Q - точки Паскаля, сформированные с помощью окружности  .
  • Девятый критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.В выпуклом четырехугольнике   пусть   - точка пересечения диагоналей,   - точка пересечения продолжений сторон   и  , и пусть   - окружность, диаметр которой является отрезком  , формирующая точки Паскаля   и   на сторонах   и  .(см. рис.)


(1)   является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки   и   коллинеарные с центром   окружности  .[10] [11]
(2)   является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки   и   являются серединами сторон   и  .[10][11] .

  • Замечание. Седьмой и восьмой критерии вписанности четырёхугольника очень похожи и рисунки у них очень похожи. Возможно, что это - один и тот же критерий вписанности четырёхугольника, взятый из разных первоисточников. На обоих рисунках   и   - точки Паскаля. Есть и другие сходные точки. Хотя формально звучат оба критерия по-разному.
  • Десятый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность[12]. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условие[13]:84
 
  • Замечание. Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея.
 
Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника
  • Одиннадцатый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF (см. рис. справа).

ПлощадьПравить

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Брахмагупты[14]

 

где p, полупериметр, равен  . Утверждение является следствием соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа[15].

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников[16], и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины[17].

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой[5]

 

или[18]

 

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой [18]

 

Ещё одна формула площади [19]

 

где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет [20]

 ,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

ДиагоналиПравить

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны [21][22][17]

 

и

 

что даёт равенство Птолемея

 


Согласно второй теореме Птолемея[21][22],

 

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство [23]

 

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более того[24],

 

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то[25]

 

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то [26]

 

Формулы угловПравить

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны[27]

 
 
 

Для угла θ между диагоналями выполняется[18]

 

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом  , то

 

где pполупериметр[28]

Формула ПарамешварыПравить

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d (в указанной последовательности) и полупериметром p радиус описанной окружности задаётся формулой[22][29]

 

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешварой[en] в 15 веке.

Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвары можно преобразовать в

 ,

где S — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр и коллинеарностьПравить

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке[30][31]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно "вершинного центроида". Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, "вершинный центроид" и антицентр лежат на одной прямой[31].

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей [31].

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" Ga, "центроид вершин" Gv и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство[32]

 

Другие свойстваПравить

 
Японская теорема
  • Теорема Монжа об ортоцентре вписаного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника.[33],[34]
  • Теорема о перпендикулярности внутренних биссектрис углов при вершинах E и F, образованных на пересечениях двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника. Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны[16].
  • Теорема о 4 проекциях 4 вершин вписанного четырёхугольника. Пусть   — вписанный четырёхугольник,   — основание перпендикуляра, опущенного из вершины   на диагональ  ; аналогично определяются точки  . Тогда точки   лежат на одной окружности.[35]
  • Теорема о числовом четырехугольнике. Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию[36].

Четырёхугольники БрахмагуптыПравить

Четырёхугольник Брахмагупты[37] — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

 
 
 
 
 
 
 
 

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольниковПравить

Площадь и радиус описанной окружностиПравить

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p1 и p2, а другую делит на отрезки длиной q1 и q2. Тогда[38] (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы»)

 ,

где Dдиаметр описанной окружности. Равенство выполняется ввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности. Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяет равенству

 

или, через стороны четырёхугольника

 

Отсюда также следует, что

 

Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

 

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

 

Другие свойстваПравить

  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей[39].
  • Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополам[39].
  • Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны [39].
  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей [39].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Usiskin, 2008, с. 63–65, Глава 10. Cyclic quadrilaterals.
  2. Usiskin, 2008, с. 63–65.
  3. Joyce, 1997, с. Book 3, Proposition 22.
  4. 1 2 Andreescu, Enescu, 2004, с. 2.3 Cyclic quads.
  5. 1 2 Durell, Robson, 2003, с. 25.
  6. Bradley, 2007, с. 179.
  7. Hajja, 2008, с. 103–6.
  8. Fraivert, David. New points that belong to the nine-point circle (англ.) // The Mathematical Gazette  (англ.) : journal. — 2019. — July (vol. 103, no. 557). — P. 222—232. — doi:10.1017/mag.2019.53.
  9. Fraivert, David. New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals (англ.) // International Journal of Geometry : journal. — 2018. — Vol. 7, no. 1. — P. 5—16.
  10. 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, <https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772>  Архивная копия от 10 июня 2020 на Wayback Machine
  11. 1 2 Фрейверт, Д. М. (2019), Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырехугольника, Математическое образование: современное состояние и перспективы : материалы Международной научной конференции, <http://libr.msu.by/handle/123456789/9675>  Архивная копия от 10 ноября 2019 на Wayback Machine
  12. См. подраздел «Диагонали» статьи «Вписанный четырёхугольник»
  13. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  14. Durell, Robson, 2003, с. 24.
  15. Peter, 2003, с. 315–6.
  16. 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967, с. 57, 60.
  17. 1 2 Johnson, 2007, с. 84.
  18. 1 2 3 Durell, Robson, 2003, с. 26.
  19. Prasolov, 2006, с. 86, Задача 4.44.
  20. Alsina, Nelsen, 2009, с. 64.
  21. 1 2 Durell, Robson, 2003, с. 25,.
  22. 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007, с. 147–9.
  23. Crux, 2007, с. 123, # 2975.
  24. Crux, 2007, с. 64, #1639.
  25. ABCD is a Cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively.... Art of Problem Solving (2010).
  26. A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [1] Архивная копия от 28 мая 2019 на Wayback Machine, Accessed 18 March 2014.
  27. Siddons, Hughes, 1929, с. 202.
  28. Durell, Robson, 2003, с. 31.
  29. Hoehn, 2000, с. 69–70.
  30. Altshiller-Court, 2007, с. 131.
  31. 1 2 3 Honsberger, 1995, с. 35–39, 4.2 Cyclic quadrilaterals.
  32. Bradley, 2011.
  33. Замечательные точки и линии четырехугольников// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
  34. Теорема Монжа// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
  35. Вокруг задачи Архимеда. Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5
  36. Buchholz, MacDougall, 1999, с. 263–9.
  37. Sastry, 2002, с. 167–173.
  38. Posamentier, Salkind, 1970, с. 104–5.
  39. 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007, с. 131,137-8.

ЛитератураПравить

  • Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. — Mathematical Association of America, 2009. — ISBN 978-0-88385-342-9.
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. — 2nd. — Courier Dover, 2007. — ISBN 978-0-486-45805-2. (org. 1952)
  • =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-8176-4305-8.
  • Christopher Bradley. Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral. — 2011.
  • Christopher J. Bradley. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates. — Highperception, 2007. — ISBN 1906338000.
  • R. H. Buchholz, J. A. MacDougall. Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 1999. — Т. 59, вып. 2. — doi:10.1017/S0004972700032883.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula. — Mathematical Association of America, 1967. — ISBN 978-0-88385-619-2. Перевод Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 3.2 Вписанные четырёхугольники; Теорема Брахмагупты. — Москва: «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка).
  • Crux Mathematicorum. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum. — 2007.
  • D. Fraivert. The theory of an inscribable quadrilateral and a circle that forms Pascal points // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 42. — P. 81–107. — doi:10.18642/jmsaa_7100121742.
  • C. V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry. — Courier Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43229-8. (orig. 1930)
  • Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.
  • Larry Hoehn. Circumradius of a cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2000. — Т. 84, вып. 499 March. — JSTOR 3621477.
  • Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Cambridge University Press, 1995. — Т. 37. — (New Mathematical Library). — ISBN 978-0-88385-639-0.
  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
  • Thomas Peter. Maximizing the area of a quadrilateral // The College Mathematics Journal. — 2003. — Т. 34, вып. 4 September. — JSTOR 3595770.
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. — 2nd. — Courier Dover, 1970. — ISBN 978-0-486-69154-1. Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.
  • , <http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf>  Архивная копия от 21 сентября 2018 на Wayback Machine Перевод с русского издания В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. — 5-е. — Москва: МЦНМО OAO «Московские учебники», 2006. — ISBN 5-94057-214-6.
  • K.R.S. Sastry. Brahmagupta quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2002. — Т. 2.
  • A. W. Siddons , R. T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge University Press, 1929.
  • Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition. — IAP, 2008. — (Research in mathematics education). — ISBN 978-1-59311-695-8.
  • D. E. Joyce. Euclid's Elements. — Clark University, 1997.
  • D. Fraivert. Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral // The Mathematical Gazette. — 2019. — Т. 103, вып. 557.

Внешние ссылкиПравить