Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.
Формально, пусть — положительные гармонические в некоторой области функции; если ряд:
сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри .
Доказательство
правитьПусть — круг с центром в и радиусом , лежащий в . Умножая неравенство , где , на , и интегрируя по в пределах от до , получим , откуда следует, что если в точке ряд сходится, то он сходится в каждой точке внутри . Пусть — цепочка кругов, лежащих в и таких, что точка сходимости есть центр круга , центр каждого лежит внутри , лежит внутри , где — произвольно выбранная точка в . В точке в силу изложенного ряд оказывается сходящимся, но — любая точка в , следовательно, ряд сходится в области . Пусть — произвольный круг с центром и радиусом , лежащий в , — концентрический круг большего радиуса , также лежащий в . Умножая неравенство , где , на , и интегрируя по в пределах от до , получим при , следовательно, ряд мажорируется на круге числовым сходящимя рядом и, следовательно, равномерно сходится на , но — любой круг в , следовательно, ряд равномерно сходится внутри .
Следствие
правитьЕсли возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри .
Литература
править- Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.
Для улучшения этой статьи желательно:
|