Принцип Гарнака

(перенаправлено с «Вторая теорема Гарнака»)
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гарнака.

Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.

Формально, пусть  — положительные гармонические в некоторой области функции; если ряд:

сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри .

ДоказательствоПравить

Пусть   — круг с центром в   и радиусом  , лежащий в  . Умножая неравенство  , где  , на  , и интегрируя по   в пределах от   до  , получим  , откуда следует, что если в точке   ряд   сходится, то он сходится в каждой точке внутри  . Пусть   — цепочка кругов, лежащих в   и таких, что точка сходимости   есть центр круга  , центр каждого   лежит внутри  ,   лежит внутри  , где   — произвольно выбранная точка в  . В точке   в силу изложенного ряд   оказывается сходящимся, но   — любая точка в  , следовательно, ряд   сходится в области  . Пусть   — произвольный круг с центром   и радиусом  , лежащий в  ,   — концентрический круг большего радиуса  , также лежащий в  . Умножая неравенство  , где  , на  , и интегрируя по   в пределах от   до  , получим   при  , следовательно, ряд   мажорируется на круге   числовым сходящимя рядом   и, следовательно, равномерно сходится на  , но   — любой круг в  , следовательно, ряд   равномерно сходится внутри  .

СледствиеПравить

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области   сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри  .

ЛитератураПравить

  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.