Открыть главное меню

Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование)[1] — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

Содержание

ОписаниеПравить

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как  . Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний  . Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния   в состояние  ) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу  , и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу  . Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе-ЭйнштейнаПравить

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния   в состояние   есть  , где   — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

 

где квадратные скобки означают коммутатор, а   — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:[2]

 .

Оператор рождения   так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

 

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

 .

Оператор уничтожения   так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

 

Статистика Ферми-ДиракаПравить

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния   в состояние   есть  , где   — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а   могут принимать значения только  . Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

 

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:[3]

 .

Оператор рождения   так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

 

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

 .

Оператор уничтожения   так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

 

ПримененияПравить

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы[4].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Термин «вторичное квантование» в англоязычной литературе считается устаревшим и в последнее время заменяется термином «каноническое квантование». Термин «каноническое» подчёркивает важное соответствие между квантовыми операторами и коммутаторами квантовой механики, и каноническими координатой и импульсом и скобкой Пуассона классической механики.
  2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. - М., Наука, 1972. - с. 167-168
  3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. - М., Наука, 1972. - с. 172
  4. А. С. Кингсеп, Вторичное квантование, СОЖ, том 7, № 5, 2001

ЛитератураПравить

  • Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
  • Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
  • Нгуен Ван Хьеу. Основы метода вторичного квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
  • Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.