Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри

Любой треугольник является выпуклым, но $n$-угольник при $n>3$ может не быть выпуклыми.

Эквивалентные определения

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него.
• Выпуклый многоугольник есть выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• Выпуклый многоугольник есть ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Свойства

Площадь выпуклого $n$-угольника (а также любого многоугольника без самопересечений) с координатами вершин $\{(X_{i},Y_{i})\}$ (так, чтобы с индексами $i$ и $i+1$ были соседние вершины и $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})$) вычисляется по формуле Гаусса:

$S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|$.

См. также

• Выпуклый многогранник.
• Выпуклое множество.

Литература

• Выпуклый многоугольник — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).