Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

Вычисление координат точек пересечения кругов равных высот светил — предложенный Гауссом аналитический метод определения географических координат местоположения наблюдателя по измеренным высотам двух светил и их склонениям и часовым углам, без графических построений на карте. Используется в астрономической навигации наряду с методом Сомнера и методом переносов (метод Сент-Илера). В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую широту местоположения наблюдателя.

P — полюс мира, Z — зенит наблюдателя, Horizon — горизонт наблюдателя. σ₁ и σ₂ — светила, h₁, h₂ — их наблюдённые высоты, t_m1 и t_m2 — их местные часовые углы. Greenwich — гринвичский меридиан, t_G1 — гринвичский часовой угол первого светила. LoP₁ и LoP₂ — круги равных высот светил (или высотные линии положения, ВЛП). Точки Fix₁ и Fix₂ пересечений ВЛП — возможные местоположения наблюдателя согласно обсервации. Точка (φ_c;λ_c) — место согласно счислению.

В общем случае данный метод не требует знания счислимого места, $(\varphi _{c};\lambda _{c})$, так как обсервация третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить азимуты наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

Исходные данные

Для некоторого момента времени $UT_{o}$ наблюдением получены высоты двух светил над горизонтом, $h_{o1}$ и $h_{o2}$ соответственно. Также, из альманаха, выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, $\delta _{1}$ и $\delta _{2}$; и гринвичские часовые углы, $t_{G1}$ и $t_{G2}$. Северное склонение и восточная долгота считаются положительными величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин обязательно.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и прямых восхождений можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, $\alpha$, или звёздные дополнения, $\tau ^{\star }$. В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

Ход вычислений

Рассмотрим параллактические треугольники $PZ\sigma _{1}$ и $PZ\sigma _{2}$, где $P_{N}$ — северный полюс мира, $\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}$ — наблюдаемые светила, $Z$ — зенит наблюдателя. $z_{1}=90^{\circ }-h_{o1}$ и $z_{2}=90^{\circ }-h_{o2}$ — зенитные расстояния светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, $\Delta t$, которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

$\Delta t=t_{G2}-t_{G1}$

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

$\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1}^{[h]})$

Из звёздных дополнений:

$\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }$

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

По теореме косинусов

• Угловое расстояние между светилами, $D_{12}$:

$\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)$

• Постоянная часть параллактического угла, $q_{1}$, при первом светиле:

$\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}$

• Переменная часть параллактического угла, $\Delta q_{1}$, от первого светила к наблюдателю:

$\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}$

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, $Fix_{1}$ или $Fix_{2}$, расположенных симметрично относительно дуги $D_{12}$, действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов $q_{1}$ и $\Delta q_{1}$.

• Широта первого пересечения, $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$:

$\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})$

• Широта второго пересечения, $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$:

$\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})$

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, $\varphi _{o}$, ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла $\Delta q_{1}$ можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника $P\sigma _{1}\sigma _{2}$: если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги $D_{12}$, величину $\Delta q_{1}$ следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину $\Delta q_{1}$ следует брать со знаком плюс.

• Основное значение местного часового угла, $t_{1}$, первого светила для широты $\varphi _{o}$:

$\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})$

Так как функция $\arccos(x)$ всегда возвращает значения углов в диапазоне $0^{\circ }...180^{\circ }$, действительная величина местного часового угла, $t_{m1_{i}}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то $t_{m1_{I}}=t_{1}$, если восточнее, то $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях $t_{m1_{i}}$, и сравнить с наблюдённой величиной $h_{o2}$.

$t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции $\arccos(\cos(t_{1}))$

$t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

$\sin(h_{c2_{I}})=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})$ — вычисленная высота второго светила для места $(\varphi _{o};\lambda _{o_{I}})$

$\sin(h_{c2_{II}})=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})$ — вычисленная высота второго светила для места $(\varphi _{o};\lambda _{o_{II}})$

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, $t_{m1_{i}}$, первого светила, при котором вычисленная, $h_{c2_{i}}$, и наблюдённая, $h_{o2}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, $\lambda _{o}$:

$\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}$

Географические координаты $\varphi _{o}$ и $\lambda _{o}$ местоположения наблюдателя на момент времени $UT_{o}$ определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Азимут светила, $A$:

$\cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i})}}-\tan(h)\cdot \tan(\varphi _{i})$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

С помощью гаверсинусов

Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить с помощью единственной тригонометрической функции — гаверсинус угла, $\operatorname {hav} (\theta )$. Для получения точности координат в одну угловую минуту пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, что позволяет произвести расчёты без применения электронных калькуляторов или таблиц логарифмов значений нескольких тригонометрических функций.

• Вспомогательные величины $F$ и $G$:

$F=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})$

$G=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})$

• Угловое расстояние между светилами, $D_{12}$:

$\operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-F-G)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)$

• Угол, дополнительный к $D_{12}$:

$D^{*}=90^{\circ }-D_{12}$

• Зенитное расстояние, $z_{1}$, первого светила; зенитное расстояние, $z_{2}$, и полярное расстояние, $p_{2}$, второго светила:

$z_{1}=90^{\circ }-h_{o1}$

$z_{2}=90^{\circ }-h_{o2}$

$p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2}$

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

• Вспомогательные величины $J$, $K$, $L$, $P$, $R$ и $S$:

$J=\operatorname {hav} (h_{o1}-D^{*})$

$K=\operatorname {hav} (h_{o1}+D^{*})$

$L=\operatorname {hav} (\delta _{1}-D^{*})$

$P=\operatorname {hav} (\delta _{1}+D^{*})$

$R=\operatorname {hav} (\delta _{1}-h_{o1})$

$S=\operatorname {hav} (\delta _{1}+h_{o1})$

• Вспомогательный угол $\alpha$:

$\operatorname {hav} (\alpha )={\frac {\operatorname {hav} (z_{2})-J}{1-K-J}}$

• Вспомогательный угол $(\alpha +\beta )$:

$\operatorname {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {hav} (p_{2})-L}{1-P-L}}$

• Вспомогательный угол $\beta _{I}$, относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:

$\beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha$

• Угол, дополнительный к широте, $\phi _{I}^{*}$, и широта первой точки пересечения, $\varphi _{I}$:

$\operatorname {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-R-S)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{I})$

$\varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}$

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

$\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha$

$\operatorname {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-R-S)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{II})$

$\varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}$

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением $\varphi _{o}$.

• Вспомогательные величины $U$ и $V$:

$U=\operatorname {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})$

$V=\operatorname {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})$

• Основное значение местного часового угла, $t_{1}$, первого светила, для широты $\varphi _{o}$:

$\operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatorname {hav} (z_{1})-U}{1-V-U}}$

Так как функция $\operatorname {archav} (x)$ всегда возвращает значения углов в диапазоне $0^{\circ }...180^{\circ }$, действительная величина местного часового угла, $t_{m1_{i}}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то $t_{m1_{I}}=t_{1}$, если восточнее, то $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной $h_{o2}$.

$t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции $\operatorname {archav} (\operatorname {hav} (t_{1}))$

$t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

$M=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})$

$N=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})$

$\operatorname {hav} (z_{c2_{I}})=M+(1-M-N)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{I}})$

$\operatorname {hav} (z_{c2_{II}})=M+(1-M-N)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{II}})$

Дуга $z_{c2_{i}}$ — зенитное расстояние второго светила, вычисленное для места $(\varphi _{o};\lambda _{o_{i}})$.

$h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}$ — вычисленная высота второго светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, $t_{m1_{i}}$, первого светила, при котором вычисленная, $h_{c2_{i}}$, и наблюдённая, $h_{o2}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота точки пересечения, $\lambda _{o}$:

$\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}$

Географические координаты $\varphi _{o}$ и $\lambda _{o}$ местоположения наблюдателя на момент времени $UT_{o}$ определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Угловое расстояние светила от повышенного полюса, $ePD$:

$ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ и }}\varphi _{i}{\text{ одноимённые (оба северного или оба южного полушария)}}\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ и }}\varphi _{i}{\text{ разноимённые}}\end{cases}}$

• Азимут светила, $A$:

$\operatorname {hav} (A)={\frac {\operatorname {hav} (ePD)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)}}$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

Ссылки

• Henning Umland, A Short Guide to Celestial Navigation
• John Karl, Celestial Navigation in the GPS Age

Литература

• Капитан 3 ранга А. Лусис, Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний, «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65