Открыть главное меню

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

где  — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Содержание

СвойстваПравить

Принцип максимумаПравить

Функция U, гармоническая в области  , достигает своего максимума и минимума только на границе  . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в   функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать  

Теорема ЛиувилляПравить

Гармоническая функция, определённая на   и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднегоПравить

Если функция   гармонична в некотором шаре   с центром в точке  , то её значение в точке   равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

 

где   — объём шара   и   — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

ДифференцируемостьПравить

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство ГарнакаПравить

Если функция  , гармоническая в к-мерном шаре   радиуса   с центром в некоторой точке  , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках   внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства:  , где  [1].

Теорема ГарнакаПравить

Пусть   — положительные гармонические функции в некоторой области  . Если ряд   сходится хотя бы в одной точке области  , то он равномерно сходится внутри  .

Гармонические функции на комплексной плоскостиПравить

На комплексной плоскости гармонические функции   тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области   в   если   это голоморфная функция на  , то   является гармонической функцией над  .

Выполняется также и обратное утверждение. Если   является гармонической функцией над односвязной областью  , то   для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над   функции  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968

ЛитератураПравить