Открыть главное меню

Гармоническое число

(перенаправлено с «Гармонические числа»)
Гармоническое число , где (красная линия) и его асимптотический предел (синяя линия).

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определенияПравить

  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
     
  • Также верно соотношение:
     ,
    где   — дигамма-функция,   — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще одно соотношение:
     

Дополнительные представленияПравить

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

  • интегральные представления:
     
  • предельные представления:
     
     ;
  • разложение в ряд Тейлора в точке  :
     
    где   — дзета-функция Римана;
  • асимптотическое разложение:
     .

Производящая функцияПравить

 

СвойстваПравить

Значения от нецелого аргументаПравить

  •  
  •  
  •  
  •  
где   — золотое сечение.
  •  

Суммы, связанные с гармоническими числамиПравить

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Тождества, связанные с гармоническими числамиПравить

  •  
  •  , где  
  •  , где  
  •  

Приближённое вычислениеПравить

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

 

где  ,   — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а   — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойстваПравить

  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа   выполняется сравнение:
     

Некоторые значения гармонических чиселПравить

   

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

ПриложенияПравить

В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

 

верно при всех целых   со строгим неравенством при  , где   — сумма делителей числа  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.