Открыть главное меню

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

,

где параметры  — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратичное отклонение и математическое ожидание :

, , ,
Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания и среднеквадратичного отклонения

График гауссовой функции при и  — колоколообразная кривая, параметр определяет максимальную высоту графика — пик колокола, отвечает от сдвига пика от нуля (при  — пик в нуле), а влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции[⇨]. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение[⇨] в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

СвойстваПравить

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр   связан с полушириной колокола графика следующим образом:

 .

Гауссова функция может быть выражена через полуширину   колокола графика следующим образом:

 .

Перегибы   — две точки, в которых  .

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

 .

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

 

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа[1]:

 .

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

 ,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием   и дисперсией  .

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр   свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан:  . Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщенияПравить

 
Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
 ,
 ,
 ,
 

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

 ,

здесь   задаёт высоту колокола,   определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а   отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

 

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

 ,

где матрица:

 

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в  -мерном евклидовом пространстве:

 ,

где   — вектор-столбец из   компонентов,   — положительно определённая матрица размера  , и   — операция транспонирования над  .

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством  :

 .

Возможно определить  -мерный вариант и со сдвигом:

 ,

где   — вектор сдвига, а матрица   — симметричная ( ) и положительно определённая.

Супергауссова функцияПравить

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень  :

 ,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам   и  [3]:

 .

ПримененияПравить

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса[en] — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния[en]* квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали[en] — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро[en]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие[en]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

ПримечанияПравить

  1. Кампос, 2014, p. 1—2.
  2. A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Propagation of super-Gaussian field distributions // Optical and quantum electronics. — 1992. — № 9. — P. S1071—S1079.
  3. GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command. Applied Optics Research (15 декабря 2016).
  4. C. R. Popa. Current-mode Analog Nonlinear Function Synthesizer Structures. — Springer Switzerland, 2013. — С. 59. — 198 с. — ISBN 983-3-319-01035-9.

ЛитератураПравить

  • L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

СсылкиПравить