Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула где  — сумма углов треугольника,  — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.

Именно, рассмотрим сферу с центром в точке в трёхмерном пространстве . Каждая точка вместе с центром сферы определяет некоторую прямую , то есть некоторую точку проективной плоскости . Сопоставление определяет отображение , большие круги на (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости , при этом в одну точку переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой и диаметрально противоположная ей точка (см. рисунок). Евклидовы движения пространства , переводящие сферу в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости , которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости отображается большой круг на сфере , причём две диаметрально противоположные точки сферы и переходят в одну точку . Аналогично, точки переходят в одну точку и точки переходят в одну точку . Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка лежит между и и что она не лежит между ними (см. рисунок).

Литература править

  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
  • Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
  • Берже М. Геометрия. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
  • Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.