Гипербола Киперта

Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C), ортоцентр (H) и центроид (G) треугольника.

Определение через изогональное сопряжениеПравить

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатахПравить

 
Точка на гиперболе Киперта.

Определение через треугольники в трилинейных координатах[1]:

Если три треугольника  ,   и   построены на сторонах треугольника  , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые  ,   и   пересекаются в одной точке  . Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек   (см. рис.).

Если общий угол при основании равен  , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

  •  
  •  
  •  

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе КипертаПравить

 .

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатахПравить

Геометрическое место точек   при изменении угла при основании треугольников   между   и   является гиперболой Киперта с уравнением

 ,

где  ,  ,   — трилинейные координаты точки   в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе КипертаПравить

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[2]:

Значение   Точка  
   , центроид треугольника   (X2)
  (или  )  , ортоцентр треугольника   (X4)
 [3] Центр Шпикера (X10)
  Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
  Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
   , первая точка Наполеона (X17)
   , вторая точка Наполеона (X18)
   , первая точка Ферма (X13)
   , вторая точка Ферма (X14)
  (если  )
  (если  )
Вершина  
  (если  )
  (если  )
Вершина  
  (если  )
  (если  )
Вершина  

Перечень точек, лежащих на гиперболе КипертаПравить

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[3]:

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)Править

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[4][5].

ИсторияПравить

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)[1].

СвойстваПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994, p. 188—205.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
  5. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Архивная копия от 7 октября 2021 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943

ЛитератураПравить

  • Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.