Гиперболическая неподвижная точка

Эта статья — о понятии в теории динамических систем. О понятии дифференциальной геометрии см. Гиперболическая точка.

Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы $\mu _{i}$ (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля $\lambda _{i}$ имеют ненулевые вещественные части.

Простейший пример гиперболической особой точки векторного поля — седло.

Устойчивое и неустойчивое многообразия

В гиперболической точке векторного поля (или диффеоморфизма) касательное пространство раскладывается в прямую сумму двух инвариантных подпространств $T^{u}$ и $T^{s}$, инвариантных относительно оператора линейной части поля: $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$. Подпространства $T^{u}$ и $T^{s}$ определяются соответственно условиями $\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$, $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$ в случае векторных полей и условиями $|\mu _{i}|>1$, $|\mu _{i}|<1$ в случае диффеоморфизмов. Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованного векторного поля (диффеоморфизма) в данной точке, они называются его неустойчивым и устойчивым, соответственно.

Неустойчивым и устойчивым многообразиями исходного нелинейного векторного поля (диффеоморфизма) называются его инвариантные многообразия $W^{u}$ и $W^{s}$, касающиеся соответственно подпространств $T^{u}$ и $T^{s}$ в рассматриваемой точке и имеющие те же размерности, что $T^{u}$ и $T^{s}$. Многообразия $W^{u}$ и $W^{s}$ определяются единственным образом. Отметим, что многообразия $W^{u}$ и $W^{s}$ существуют не только в случае гиперболических особых точек, однако в случае гиперболической точки сумма их размерностей равна размерности всего пространства, и других инвариантных многообразий, проходящих через данную особую точку, не существует.

Теоремы о гиперболических точках

Теорема Гробмана — Хартмана. В окрестности гиперболической точки нелинейного диффеоморфизма (векторного поля) динамика отличается от таковой для соответствующего линейного отображения (векторного поля) непрерывной заменой координат.

Теорема Адамара — Перрона. В окрестности гиперболической точки гладкого (или аналитического) векторного поля или диффеоморфизма существуют неустойчивое и устойчивое многообразия $W^{u}$ и $W^{s}$ такого же класса гладкости (соответственно, аналитические), проходящие через данную точку.

Теорема Ченя. Если в окрестности гиперболической точки два $C^{\infty }$-гладких векторных поля (диффеоморфизма) формально эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга посредством формальной замены переменных, заданной формальными степенными рядами), то они $C^{\infty }$-гладко эквивалентны.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова
• Гиперболическое множество
• Центральное многообразие

Литература

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории, — М.: Физматлит, 1995 (c. 137).
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0.
• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.