Гиперболические уравнения

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Уравнения второго порядкаПравить

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции  :

 

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть:  . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

 ,

где  .
Матрица   называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна  , то есть матрица   имеет   положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот:   отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

 ,

где:   — положительно определённый эллиптический оператор,  .

Уравнения первого порядка на плоскостиПравить

Уравнение типа

 

где  ,  ,   — квадратные матрицы и   — неизвестные. Являются гиперболическими если матрица   имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров. [2]

Решение гиперболических уравненийПравить

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

Примеры гиперболических уравненийПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.

ПримечанияПравить

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Bressan, A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. — Oxford university press. — ISBN 0-19-850700-3.
  3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.